حاسبة النهايات

الرسم البياني

اسحب للتحريك، ومرّر أو قرِّص للتكبير، أو استخدم أزرار + / − / ⟲. يمكن الوصول إلى الرسم البياني أيضاً من لوحة المفاتيح: انتقل إليه بمفتاح Tab ثم استخدم مفاتيح الأسهم و+ / −.

الصيغة

كيف تعمل

توجد النهاية عند نقطة إذا اقتربت الدالة من القيمة نفسها سواء اقترب x من الأسفل أو من الأعلى. ويُفحص ذلك عددياً هنا بتقييم f قريباً جداً من a من الجهتين؛ وحيث تكون f نفسها غير معرّفة عند a (كما في الدالة المقلوبية عند x = 0) تُعرض القيمتان أحاديتا الجانب بدلاً من ذلك.

مثال محلول

الحساب نفسه بالقيم الافتراضية:

• فئة الدالة تربيعية: f(x) = ax² + bx + c
• المعامل a 1
• المعامل b 0
• الثابت c 0
• الاقتراب من x = 0

1. x → ‎-0.0001⁻: f(x) ≈ 0
2. x → 0.0001⁺: f(x) ≈ 0
3. f(0) = 0

النتيجة: الاقتراب من اليسار: 0.00000001 · الاقتراب من اليمين: 0.00000001 · النهاية: 0

أخطاء شائعة

• افتراض أن النهاية تساوي دائمًا قيمة الدالة عند تلك النقطة بالضبط - تصف النهاية القيمة التي تقترب منها الدالة، والتي يمكن أن تختلف عن (أو تكون مُعرَّفة حيث لا تكون الدالة نفسها مُعرَّفة، كحالة عدم الاتصال القابل للإزالة).
• استخدام حجم خطوة كبير جدًا عند التقريب العددي لنهاية - يمكن أن يجعل هذا دالة تتباعد فعليًا تبدو متقاربة، أو العكس، إذا لم تكن النقاط المأخوذة قريبة بما يكفي من الهدف.
• الخلط بين النهاية أحادية الجانب والنهاية الكاملة (ثنائية الجانب) - يمكن لدالة أن تقترب من قيم مختلفة من اليسار واليمين لنقطة ما، وفي هذه الحالة لا توجد النهاية الكاملة رغم وجود كل نهاية أحادية الجانب.